Sinx 1 trigonometrik tenglamani yeching 2. Trigonometrik tenglamalar

"A olish" video kursi matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonini 60-65 ball bilan muvaffaqiyatli topshirish uchun zarur bo'lgan barcha mavzularni o'z ichiga oladi. Matematika bo'yicha profil yagona davlat imtihonining 1-13-sonli barcha topshiriqlarini to'liq bajaring. Matematika bo'yicha asosiy yagona davlat imtihonini topshirish uchun ham javob beradi. Agar siz Yagona Davlat imtihonini 90-100 ball bilan topshirmoqchi bo'lsangiz, 1-qismni 30 daqiqada va xatosiz hal qilishingiz kerak!

10-11-sinflar uchun, shuningdek, o'qituvchilar uchun yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik kursi. Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonining 1-qismini (birinchi 12 ta masala) va 13-muammoni (trigonometriya) hal qilish uchun kerak bo'lgan hamma narsa. Va bu Yagona davlat imtihonida 70 balldan oshadi va na 100 ball to'plagan talaba, na gumanitar fanlar talabasi ularsiz qila olmaydi.

Barcha kerakli nazariya. Yagona davlat imtihonining tezkor echimlari, tuzoqlari va sirlari. FIPI vazifalar bankining 1-qismining barcha joriy vazifalari tahlil qilindi. Kurs 2018 yilgi Yagona davlat imtihonining talablariga to'liq javob beradi.

Kurs har biri 2,5 soatdan iborat 5 ta katta mavzuni o'z ichiga oladi. Har bir mavzu noldan sodda va tushunarli tarzda berilgan.

Yuzlab yagona davlat imtihon topshiriqlari. So'z muammolari va ehtimollar nazariyasi. Muammolarni hal qilish uchun oddiy va eslab qolish oson algoritmlar. Geometriya. Yagona davlat imtihonining barcha turlarining nazariyasi, ma'lumotnomasi, tahlili. Stereometriya. Ayyor echimlar, foydali varaqlar, fazoviy tasavvurni rivojlantirish. Trigonometriya noldan muammoga 13. Tiklash o'rniga tushunish. Murakkab tushunchalarning aniq tushuntirishlari. Algebra. Ildizlar, darajalar va logarifmlar, funksiya va hosila. Yagona davlat imtihonining 2-qismining murakkab muammolarini hal qilish uchun asos.

Eng oddiy trigonometrik tenglamalar, qoida tariqasida, formulalar yordamida echiladi. Sizga eslatib o'taman, eng oddiy trigonometrik tenglamalar:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x - topiladigan burchak,
a - har qanday raqam.

Va bu erda siz eng oddiy tenglamalarning echimlarini darhol yozishingiz mumkin bo'lgan formulalar.

Sinus uchun:

Kosinus uchun:

x = ± arccos a + 2p n, n ∈ Z

Tangens uchun:

x = arktan a + p n, n ∈ Z

Kotangent uchun:

x = arcctg a + p n, n ∈ Z

Aslida, bu eng oddiy trigonometrik tenglamalarni echishning nazariy qismidir. Bundan tashqari, hamma narsa!) Hech narsa. Biroq, bu mavzu bo'yicha xatolar soni shunchaki jadvaldan tashqarida. Ayniqsa, misol shablondan biroz chetga chiqsa. Nega?

Ha, chunki ko'p odamlar bu xatlarni yozadilar, ularning ma'nosini umuman tushunmasdan! Ehtiyotkorlik bilan yozadi, biror narsa sodir bo'lmasin ...) Buni tartibga solish kerak. Odamlar uchun trigonometriya yoki trigonometriya uchun odamlar!?)

Keling, buni aniqlaylikmi?

Bir burchak teng bo'ladi arccos a, ikkinchi: -arccos a.

Va bu har doim shunday ishlaydi. Har qanday uchun A.

Agar menga ishonmasangiz, sichqonchani rasm ustiga olib boring yoki planshetingizdagi rasmga teging.) Men raqamni o‘zgartirdim. A salbiy narsaga. Baribir, biz bir burchakka egamiz arccos a, ikkinchi: -arccos a.

Shuning uchun javob har doim ikkita ildiz qatori sifatida yozilishi mumkin:

x 1 = arccos a + 2p n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2p n, n ∈ Z

Keling, ushbu ikkita seriyani bittaga birlashtiramiz:

x= ± arccos a + 2p n, n ∈ Z

Va bu hammasi. Kosinus bilan eng oddiy trigonometrik tenglamani yechishning umumiy formulasini oldik.

Agar tushunsangiz, bu qandaydir o'ta ilmiy donolik emas, balki faqat ikkita javob seriyasining qisqartirilgan versiyasi, Shuningdek, siz "C" vazifalarini bajarishingiz mumkin. Tengsizliklar bilan, berilgan oraliqdan ildizlarni tanlash bilan ... U erda ortiqcha/minus bilan javob ishlamaydi. Ammo agar siz javobga ishbilarmonlik bilan munosabatda bo'lsangiz va uni ikkita alohida javobga ajratsangiz, hamma narsa hal qilinadi.) Aslida, shuning uchun biz buni ko'rib chiqmoqdamiz. Nima, qanday va qayerda.

Eng oddiy trigonometrik tenglamada

sinx = a

biz ikkita ildiz seriyasini ham olamiz. Har doim. Va bu ikki seriyani ham yozib olish mumkin bir qatorda. Faqatgina bu qator murakkabroq bo'ladi:

x = (-1) n arcsin a + p n, n ∈ Z

Ammo mohiyati bir xil bo'lib qolmoqda. Matematiklar bir qator ildizlar uchun ikkita yozuv o'rniga bitta kiritish uchun oddiygina formula ishlab chiqdilar. Va tamom!

Keling, matematiklarni tekshiramizmi? Va siz hech qachon bilmaysiz ...)

Oldingi darsda sinus bilan trigonometrik tenglamaning yechimi (formulalarsiz) batafsil muhokama qilindi:

Javob ikkita ildiz qatoriga olib keldi:

x 1 = p /6 + 2p n, n ∈ Z

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ∈ Z

Agar biz bir xil tenglamani formuladan foydalanib yechsak, javobni olamiz:

x = (-1) n arksin 0,5 + p n, n ∈ Z

Aslida, bu tugallanmagan javob.) Talaba buni bilishi kerak arcsin 0,5 = p /6. To'liq javob quyidagicha bo'ladi:

x = (-1)n p /6+ p n, n ∈ Z

Bu qiziq savol tug'diradi. orqali javob bering x 1; x 2 (bu to'g'ri javob!) va yolg'izlik orqali X (va bu to'g'ri javob!) - ular bir xilmi yoki yo'qmi? Endi bilib olamiz.)

Javobni bilan almashtiramiz x 1 qiymatlar n =0; 1; 2; va hokazo, biz hisoblaymiz, biz bir qator ildizlarni olamiz:

x 1 = p/6; 13p/6; 25p/6 va hokazo.

bilan javoban bir xil almashtirish bilan x 2 , biz olamiz:

x 2 = 5p/6; 17p/6; 29p/6 va hokazo.

Endi qiymatlarni almashtiramiz n (0; 1; 2; 3; 4...) yagona uchun umumiy formulaga X . Ya'ni, biz minus birni nol kuchga, keyin birinchi, ikkinchi va hokazolarga ko'taramiz. Albatta, biz ikkinchi muddatga 0 ni almashtiramiz; 1; 2 3; 4 va boshqalar. Va hisoblaymiz. Biz seriyani olamiz:

x = p/6; 5p/6; 13p/6; 17p/6; 25p/6 va hokazo.

Buni ko'rishingiz mumkin.) Umumiy formula bizga beradi aynan bir xil natijalar ikkita javob alohida-alohida. Hamma narsa bir vaqtning o'zida, tartibda. Matematiklar aldanishmagan.)

Tangens va kotangens bilan trigonometrik tenglamalarni yechish formulalari ham tekshirilishi mumkin. Lekin biz buni qilmaymiz.) Ular allaqachon oddiy.

Men bu almashtirishning barchasini yozdim va aniq tekshirdim. Bu erda bitta oddiy narsani tushunish muhimdir: elementar trigonometrik tenglamalarni echish uchun formulalar mavjud, javoblarning qisqacha xulosasi. Bu qisqalik uchun biz kosinus eritmasiga plyus/minus va sinus eritmasiga (-1) n ni kiritishimiz kerak edi.

Ushbu qo'shimchalar oddiy tenglamaning javobini yozishingiz kerak bo'lgan vazifalarga hech qanday aralashmaydi. Ammo agar siz tengsizlikni hal qilishingiz kerak bo'lsa yoki javob bilan biror narsa qilishingiz kerak bo'lsa: intervalda ildizlarni tanlang, ODZni tekshiring va hokazo, bu qo'shimchalar odamni osongina bezovta qilishi mumkin.

Xo'sh, nima qilishim kerak? Ha, javobni ikki qatorda yozing yoki trigonometrik doira yordamida tenglama/tengsizlikni yeching. Keyin bu qo'shimchalar yo'qoladi va hayot osonlashadi.)

Xulosa qilishimiz mumkin.

Eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish uchun tayyor javob formulalari mavjud. To'rt bo'lak. Ular bir zumda tenglamaning yechimini yozish uchun yaxshi. Masalan, siz tenglamalarni echishingiz kerak:

sinx = 0,3

Osonlik bilan: x = (-1) n arksin 0,3 + p n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Muammosiz: x = ± arccos 0,2 + 2p n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Osonlik bilan: x = arktan 1,2 + p n, n ∈ Z

ctgx = 3.7

Biri qoldi: x= arcctg3,7 + p n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Agar siz bilim bilan porlayotgan bo'lsangiz, darhol javob yozing:

x= ± arccos 1,8 + 2p n, n ∈ Z

demak siz allaqachon porlab turibsiz, bu... ko'lmakdan.) To'g'ri javob: yechimlar yo'q. Nima uchun tushunmayapsizmi? Yoy kosinasi nima ekanligini o'qing. Bundan tashqari, agar dastlabki tenglamaning o'ng tomonida sinus, kosinus, tangens, kotangensning jadval qiymatlari mavjud bo'lsa, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 va h.k. - kamon orqali javob tugallanmagan bo'ladi. Arklar radianga aylantirilishi kerak.

Va agar siz tengsizlikka duch kelsangiz, yoqing

keyin javob:

x pn, n ∈ Z

kamdan-kam bema'nilik bor, ha ...) Bu erda trigonometrik doira yordamida hal qilish kerak. Tegishli mavzuda nima qilamiz.

Ushbu satrlarni qahramonona o'qiganlar uchun. Men sizning titanik sa'y-harakatlaringizni qadrlay olmayman. Siz uchun bonus.)

Bonus:

Xavotirli jangovar vaziyatda formulalarni yozishda hatto tajribali ahmoqlar ham qayerda ekanligi haqida bosh qotiradilar pn, qayerda 2p n. Mana siz uchun oddiy hiyla. In hamma formulalar arziydi pn. Ark kosinusli yagona formuladan tashqari. U yerda turibdi 2p. Ikki peen. Kalit so'z - ikki. Xuddi shu formulada mavjud ikki boshida belgilang. Plyus va minus. Bu yerda va u yerda - ikki.

Shunday qilib, agar siz yozsangiz ikki yoy kosinusidan oldin belgi qo'ying, oxirida nima bo'lishini eslab qolish osonroq ikki peen. Va bu ham aksincha sodir bo'ladi. Odam belgini o'tkazib yuboradi ± , oxiriga yetadi, to'g'ri yozadi ikki Pien, va u o'ziga keladi. Oldinda nimadir bor ikki imzo! Inson boshiga qaytadi va xatosini tuzatadi! Mana bunday.)

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari quyidagilardir: tenglamalarni eng oddiyga qisqartirish (trigonometrik formulalar yordamida), yangi o'zgaruvchilarni kiritish va faktoring. Keling, ulardan foydalanishni misollar bilan ko'rib chiqaylik. Trigonometrik tenglamalar yechimlarini yozish formatiga e'tibor bering.

Trigonometrik tenglamalarni muvaffaqiyatli yechishning zaruriy sharti trigonometrik formulalarni bilishdir (6-ishning 13-mavzu).

Misollar.

1. Eng soddaga qisqartirilgan tenglamalar.

1) Tenglamani yeching

Yechim:

Javob:

2) tenglamaning ildizlarini toping

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, segmentga tegishli.

Yechim:

Javob:

2. Kvadratga keltiruvchi tenglamalar.

1) 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 tenglamani yeching.

Yechim: sin 2 x = 1 – cos 2 x formulasidan foydalanib, biz olamiz

Javob:

2) cos 2x = 1 + 4 cosx tenglamasini yeching.

Yechim: cos 2x = 2 cos 2 x – 1 formulasidan foydalanib, olamiz

Javob:

3) tgx – 2ctgx + 1 = 0 tenglamasini yeching

Yechim:

Javob:

3. Bir jinsli tenglamalar

1) 2sinx – 3cosx = 0 tenglamasini yeching

Yechish: cosx = 0 bo'lsin, keyin 2sinx = 0 va sinx = 0 - sin 2 x + cos 2 x = 1 ekanligi bilan ziddiyat. Bu cosx ≠ 0 ni anglatadi va biz tenglamani cosx ga bo'lishimiz mumkin. olamiz

Javob:

2) 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x tenglamasini yeching

Yechim:

Biz 1 = sin 2 x + cos 2 x va sin 2x = 2 sinxcosx formulalaridan foydalanamiz, biz olamiz

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Cosx = 0 bo'lsin, keyin sin 2 x = 0 va sinx = 0 - sin 2 x + cos 2 x = 1 ekanligi bilan ziddiyat.
Bu cosx ≠ 0 degan ma'noni anglatadi va biz tenglamani cos 2 x ga bo'lishimiz mumkin . olamiz

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
tgx = y ni belgilaymiz
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arktan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arktan2 + 2 k, k .

Javob: arctg4 + 2 k, arktan2 + 2 k, k

4. Shaklning tenglamalari a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Tenglamani yeching.

Yechim:

Javob:

5. Faktorlarga ajratish yo‘li bilan yechilgan tenglamalar.

1) sin2x – sinx = 0 tenglamasini yeching.

Tenglamaning ildizi f (X) = φ ( X) faqat 0 raqami sifatida xizmat qilishi mumkin. Keling, buni tekshiramiz:

cos 0 = 0 + 1 - tenglik to'g'ri.

0 raqami bu tenglamaning yagona ildizidir.

Javob: 0.

Bir marta ikki abituriyent o'rtasidagi suhbatning guvohi bo'ldim:

– Qachon 2pn qo‘shish kerak va qachon pn qo‘shish kerak? Men shunchaki eslay olmayman!

- Menda ham xuddi shunday muammo bor.

Men ularga shunchaki aytmoqchi edim: "Siz yodlashingiz shart emas, lekin tushuning!"

Ushbu maqola birinchi navbatda o'rta maktab o'quvchilariga qaratilgan va umid qilamanki, ularga eng oddiy trigonometrik tenglamalarni "tushunish" bilan hal qilishga yordam beradi:

Raqamli doira

Son qatori tushunchasi bilan bir qatorda son doirasi tushunchasi ham mavjud. Biz bilganimizdek, to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida markazi (0;0) nuqtada va radiusi 1 bo'lgan aylana birlik aylana deyiladi. Raqam chizig'ini ingichka ip sifatida tasavvur qilaylik va uni shu aylana bo'ylab aylantiramiz: biz boshni (0 nuqta) birlik doirasining "o'ng" nuqtasiga biriktiramiz, musbat yarim o'qni soat miliga teskari yo'nalishda va salbiy yarim o'qni o'rab olamiz. -yo'nalishdagi o'q (1-rasm). Bunday birlik aylana sonli aylana deyiladi.

Raqamlar doirasining xossalari

• Har bir haqiqiy son sonlar aylanasining bir nuqtasida yotadi.
• Raqamlar doirasining har bir nuqtasida cheksiz ko'p haqiqiy sonlar mavjud. Birlik aylana uzunligi 2p bo‘lgani uchun aylananing bir nuqtasidagi har qanday ikkita son orasidagi farq ±2p sonlardan biriga teng; ±4p; ±6p; ...

Xulosa qilaylik: A nuqtaning raqamlaridan birini bilib, biz A nuqtaning barcha raqamlarini topishimiz mumkin.

AC diametrini chizamiz (2-rasm). x_0 A nuqta sonlaridan biri bo'lganligi sababli, u holda x_0±p sonlari; x_0±3p; x_0±5p; ... va faqat ular C nuqtaning raqamlari bo'ladi. Keling, bu raqamlardan birini tanlaymiz, masalan, x_0+p va C nuqtaning barcha raqamlarini yozish uchun foydalanamiz: x_C=x_0+p+2pk ,k∈ Z. E'tibor bering, A va C nuqtalardagi raqamlarni bitta formulaga birlashtirish mumkin: x_(A ; C)=x_0+pk ,k∈Z (k = 0; ±2; ±4; ... uchun raqamlarni olamiz. A nuqtasi va k = ±1; ±3; ±5; … – C nuqta raqamlari uchun).

Xulosa qilaylik: AC diametrining A yoki C nuqtalaridan biridagi raqamlardan birini bilib, biz ushbu nuqtalardagi barcha raqamlarni topishimiz mumkin.

• Ikki qarama-qarshi son aylananing abtsissa o'qiga nisbatan simmetrik bo'lgan nuqtalarida joylashgan.

AB vertikal akkordasini chizamiz (2-rasm). A va B nuqtalar Ox o'qiga nisbatan simmetrik bo'lgani uchun -x_0 soni B nuqtada joylashgan va shuning uchun B nuqtaning barcha raqamlari quyidagi formula bilan berilgan: x_B=-x_0+2pk ,k∈Z. A va B nuqtalardagi raqamlarni bitta formuladan foydalanib yozamiz: x_(A ; B)=±x_0+2pk ,k∈Z. Xulosa qilaylik: AB vertikal akkordning A yoki B nuqtalaridan biridagi raqamlardan birini bilib, biz ushbu nuqtalardagi barcha raqamlarni topishimiz mumkin. AD gorizontal akkordasini ko'rib chiqamiz va D nuqta raqamlarini topamiz (2-rasm). BD diametr va -x_0 soni B nuqtaga tegishli ekan, u holda -x_0 + p D nuqta raqamlaridan biridir va shuning uchun bu nuqtaning barcha raqamlari x_D=-x_0+p+ formulasi bilan berilgan. 2pk ,k∈Z. A va D nuqtalardagi raqamlarni bitta formula yordamida yozish mumkin: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+pk ,k∈Z . (k= 0; ±2; ±4; … uchun A nuqta raqamlarini, k = ±1; ±3; ±5; … - D nuqta raqamlarini olamiz).

Xulosa qilaylik: AD gorizontal akkordning A yoki D nuqtalaridan biridagi raqamlardan birini bilsak, bu nuqtalardagi barcha raqamlarni topishimiz mumkin.

Raqamlar doirasining o'n oltita asosiy nuqtasi

Amalda, eng oddiy trigonometrik tenglamalarning ko'pchiligini yechish aylanadagi o'n olti nuqtani o'z ichiga oladi (3-rasm). Bu nuqtalar nima? Qizil, ko'k va yashil nuqtalar doirani 12 ta teng qismga ajratadi. Yarim doira uzunligi p bo'lgani uchun, u holda A1A2 yoyi uzunligi p/2, A1B1 yoyi uzunligi p/6, A1C1 yoyi uzunligi p/3 ga teng.

Endi biz bir vaqtning o'zida bitta raqamni ko'rsatishimiz mumkin:

C1 da p/3 va

To'q sariq kvadratning uchlari har chorak yoylarining o'rta nuqtalari, shuning uchun A1D1 yoyi uzunligi p/4 ga teng va shuning uchun p/4 D1 nuqta raqamlaridan biridir. Raqamlar doirasining xususiyatlaridan foydalanib, biz doiramizning barcha belgilangan nuqtalariga barcha raqamlarni yozish uchun formulalardan foydalanishimiz mumkin. Ushbu nuqtalarning koordinatalari rasmda ham belgilangan (biz ularni sotib olish tavsifini o'tkazib yuboramiz).

Yuqoridagilarni o'rganganimizdan so'ng, bizda maxsus holatlarni hal qilish uchun etarli tayyorgarlik bor (raqamning to'qqizta qiymati uchun). a) eng oddiy tenglamalar.

Tenglamalarni yechish

1)sinx=1⁄(2).

- Bizdan nima talab qilinadi?

– Sinuslari 1/2 ga teng bo'lgan barcha x sonlarni toping.

Keling, sinusning ta'rifini eslaylik: sinx – son doirasidagi x soni joylashgan nuqtaning ordinatasi. Bizda aylanada ordinatasi 1/2 ga teng bo'lgan ikkita nuqta bor. Bular B1B2 gorizontal akkordning uchlari. Demak, “sinx=1⁄2 tenglamani yechish” talabi “B1 nuqtadagi barcha raqamlarni va B2 nuqtadagi barcha raqamlarni toping” talabiga teng.

2)sinx=-√3⁄2 .

Biz C4 va C3 nuqtalarida barcha raqamlarni topishimiz kerak.

3) sinx=1. Doirada bizda ordinatasi 1 bo'lgan faqat bitta nuqta bor - A2 nuqtasi va shuning uchun biz ushbu nuqtaning faqat barcha raqamlarini topishimiz kerak.

Javob: x=p/2+2pk, k∈Z.

4)sinx=-1 .

Faqat A_4 nuqtaning ordinatasi -1 ga teng. Bu nuqtaning barcha raqamlari tenglamaning otlari bo'ladi.

Javob: x=-p/2+2pk, k∈Z.

5) sinx=0 .

Doirada bizda ordinatasi 0 bo'lgan ikkita nuqta bor - A1 va A3 nuqtalari. Har bir nuqtada raqamlarni alohida ko'rsatishingiz mumkin, ammo bu nuqtalar diametrik ravishda qarama-qarshi ekanligini hisobga olsak, ularni bitta formulaga birlashtirish yaxshiroqdir: x=pk,k∈Z.

Javob: x=pk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Keling, kosinusning ta'rifini eslaylik: cosx - son aylanasidagi x soni joylashgan nuqtaning abssissasi. Aylanada bizda abscissa √2⁄2 bo'lgan ikkita nuqta bor - D1D4 gorizontal akkordning uchlari. Biz ushbu nuqtalardagi barcha raqamlarni topishimiz kerak. Keling, ularni bitta formulaga birlashtirgan holda yozamiz.

Javob: x=±p/4+2pk, k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

Biz C_2 va C_3 nuqtalaridagi raqamlarni topishimiz kerak.

Javob: x=±2p/3+2pk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Faqat A2 va A4 nuqtalarida abssissa 0 ga teng, ya'ni bu nuqtalarning har biridagi barcha raqamlar tenglamaning yechimi bo'ladi.
.

Tizim tenglamasining yechimlari B_3 va B_4 nuqtalardagi raqamlardir.Cosx tengsizligiga<0 удовлетворяют только числа b_3
Javob: x=-5p/6+2pk, k∈Z.

E'tibor bering, x ning har qanday ruxsat etilgan qiymati uchun ikkinchi omil ijobiydir va shuning uchun tenglama tizimga ekvivalentdir.

Tizim tenglamasining yechimlari D_2 va D_3 nuqtalar sonidir. D_2 nuqta raqamlari sinx≤0,5 tengsizlikni qanoatlantirmaydi, lekin D_3 nuqta raqamlari mos keladi.

blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda asl manbaga havola talab qilinadi.